Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка,...). В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связанных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9-11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей, а отчасти она будет интересна и профессиональным математикам.
Содержание
Что такое цепная дробь
Цепная дробь для числа пи
Геометрическая теория цепных дробей
Алгоритм "вытягивания носов"
Две леммы геометрии чисел
Теорема Кузьмина
Золотое сечение
Геометрия теоремы Лагранжа: случай общих квадратичных иррациональностей
Многомерные цепные дроби
Обобщение теоремы Лагранжа
Обобщение статистики элементов цепной дроби
Цепные дроби и градуированные алгебры
Литература
