Выпускаемое в настоящем издании небольшое сочинение Лобачевского „Геометрические исследования по теории параллельных линий" принадлежит к числу последних его геометрических работ. Данное сочинение содержит элементарное изложение начал неевклидовой геометрии. Оно было опубликовано Лобачевским в 1840 г. на немецком языке под названием „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien" и выпущено в свет в Берлине.
Элементы неевклидовой геометрии изложены в этом небольшом сочинении с удивительным искусством. За сто лет, истекших со времени опубликования „Геометрических исследований", идеи Лобачевского многообразно перекристаллизовались в умах многочисленных геометров, размышлявших над этими вопросами. Многие выводы в настоящее время упрощены, некоторые концепции иначе оформлены; часто иначе строится тригонометрия, но синтетическое изложение начал неевклидовой геометрии этого типа и по настоящее время сохранило общую схему „Геометрических исследований", подобно тому как построение начал обыкновенной геометрии и по сие время носит на себе отпечаток схемы Евклида. „Геометрические исследования" представляют собой перл геометрического творчества и навсегда останутся образцом изложения своеобразных новых идей в элементарной форме. По „Геометрическим исследованиям" с неевклидовой геометрией впервые познакомились математики конца шестидесятых и начала семидесятых годов XIX столетия.
Книга представляет интерес для математиков, историков математики, а также всех интересующихся жизнью и творчеством Н. И. Лобачевского.
Содержание
ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ (В. Ф. Каган)
I. Сочинения Н.И.Лобачевского, предшествовавшие "Геометрическим исследованиям".
II. Обзор сочинения „Геометрические исследования".
III. Исследования Лежандра по теории параллельных линий.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ (Н. И. Лобачевский)
I. Введение.
II. Параллельные линии.
III. Сумма внутренних углов прямолинейного треугольника.
IV. Исследование угла параллельности.
V. Взаимное расположение параллельных линий.
VI. Измерение трехгранных углов.
VII. Предельная линия.
VIII. Предельная поверхность.
IX. Уравнения, связывающие стороны и углы прямоугольного треугольника.
X. Разыскание функции Π(х).
XI. Уравнения, связывающие стороны и углы всякого треугольника.
Примечания. (В. Ф. Каган)
ПРИЛОЖЕНИЯ. (В. Ф. Каган)
Вводные указания.
I. Взаимное расположение прямых на гиперболической плоскости.
II. Кривые постоянной кривизны и постоянная гиперболической плоскости.
III. Расположение прямых и плоскостей в гиперболическом пространстве.
IV. Метрические соотношения в гиперболическом пространстве.
V. Теорема сложения и основные уравнения гиперболического пространства.
VI. Отождествление двух постоянных, появляющихся в гиперболической геометрии.
VII. Планиметрический вывод тригонометрических уравнений гиперболического пространства.
Важнейшие даты в жизни Н. И. Лобачевского.
Библиография.
