В этой книге читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения.
Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, а также школьных учителей, руководителей математических кружков. При чтении последних разделов будет полезным (но не обязательным) знакомство с началами математического анализа.
Содержание
Введение
§1. Задача Фаньяно
§2. Фокальное свойство коник
§3. Задача Ферма–Торричелли–Штейнера
§4. Сети Штейнера
§5. Изопериметрическая задача
§6. Вариационные методы
§7. Правило множителей Лагранжа
§8. Физические принципы
§9. Теоремы существования
§10. Еще несколько задач
Приложение А. Компактность и теорема Вейерштрасса
Приложение Б. Доказательство существования в задаче Штейнера и в изопериметрической задаче
Литература
