Книга содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство задач по своей тематике близки к школьной программе. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.
Для школьников, преподавателей, студентов педагогических институтов.
Содержание
Предисловие.
Знакомство со стереометрией.
Решения.
Глава 1. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 1. Углы и расстояния между скрещивающимися прямыми.
§ 2. Углы между прямыми и плоскостями.
§ 3. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями.
§ 4. Скрещивающиеся прямые.
§ 5. Теорема Пифагора в пространстве.
§ 6. Метод координат.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 2. ПРОЕКЦИИ, СЕЧЕНИЯ, РАЗВЕРТКИ.
§ 1. Вспомогательные проекции.
§ 2. Теорема о трех перпендикулярах.
§ 3. Площадь проекции многоугольника.
§ 4. Задачи о проекциях.
§ 5. Сечения.
§ 6. Развертки.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 3. ОБЪЕМ.
§ 1. Формулы для объема тетраэдра и пирамиды.
§ 2. Формулы для объема многогранников и круглых тел.
§ 3. Свойства объема.
§ 4. Вычисление объема.
§ 5. Вспомогательный объем.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 4. СФЕРЫ.
§ 1. Длина общей касательной.
§ 2. Касательные к сферам.
§ 3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере.
§ 4. Разные задачи.
§ 5. Площадь сферической полоски и объем шарового сегмента.
§ 6. Радикальная плоскость.
§ 7. Сферическая геометрия и телесные углы.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 5. ТРЕХГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ.
§ 1. Полярный трехгранный угол.
§ 2. Неравенства с трехгранными углами.
§ 3. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов.
§ 4. Разные задачи.
§ 5. Многогранные углы.
§ 6. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 6. ТЕТРАЭДР, ПИРАМИДА И ПРИЗМА.
§ 1. Свойства тетраэдра.
§ 2. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами.
§ 3. Прямоугольный тетраэдр.
§ 4. Равногранный тетраэдр.
§ 5. Ортоцентрический тетраэдр.
§ 6. Достраивание тетраэдра.
§ 7. Пирамида и призма.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ВЕКТОРЫ.
§ 1. Скалярное произведение. Соотношения.
§ 2. Скалярное произведение. Неравенства.
§ 3. Линейные зависимости векторов.
§ 4. Разные задачи.
§ 5. Векторное произведение.
§ 6. Симметрия.
§ 7. Гомотетия.
§ 8. Поворот. Композиции преобразований.
§ 9. Отражение луча света.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 8. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
§ 1. Разные задачи.
§ 2. Признаки невписанности и неописанности многогранников.
§ 3. Формула Эйлера.
§ 4. Обходы многогранников.
§ 5. Пространственные многоугольники.
Решения.
Глава 9. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.
§ 1. Основные свойства правильных многогранников.
§ 2. Взаимосвязи между правильными многогранниками.
§ 3. Проекции и сечения правильных многогранников.
§ 4. Самосовмещения правильных многогранников.
§ 5. Различные определения правильных многогранников.
Решения.
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА.
§ 1. Длины, периметры.
§ 2. Углы.
§ 3. Площади.
§ 4. Объемы.
§ 5. Разные задачи.
3адачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 11. ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ.
§ 1. Отрезок с концами па скрещивающихся прямых.
§ 2. Площадь и объем.
§ 3. Расстояния.
§ 4. Разные задачи.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 12. ПОСТРОЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК.
§ 1. Скрещивающиеся прямые.
§ 2. Сфера и трехгранный угол.
§ 3. Разные ГМТ.
§ 4. Построения на изображениях.
§ 5. Построения, связанные с пространственными фигурами.
Решения.
Глава 13. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
§ 1. Принцип крайнего.
§ 2. Принцип Дирихле.
§ 3. Выход в пространство.
Решения.
Глава 14. ЦЕНТР МАСС. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ.
§ 1. Центр масс и его основные свойства.
§ 2. Момент инерции.
§ 3. Барицентрические координаты.
Решения.
Глава 15. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ.
§ 1. Примеры и контрпримеры.
§ 2. Целочисленные решетки.
§ 3. Разрезания. Разбиения. Раскраски.
§ 4. Задачи-одиночки.
Решения.
Глава 16. ИНВЕРСИЯ И СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ.
§ 1. Свойства инверсии.
§ 2. Сделаем инверсию.
§ 3. Наборы касающихся сфер.
§ 4. Стереографическая проекция.
Решения.
Приложение. Задачи для самостоятельного решения.
Список рекомендуемой литературы.
